CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử y ( f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y ( F(x) là một nguyên hàm của hàm số y ( f(x) khi và chỉ khi F((x) ( f(x), (x((a, b).
Nếu y ( F(x) là một nguyên hàm của hàm số y ( f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y ( f(x) là tập hợp I (
và tập hợp này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
2. Vi phân:
2.1 Giả sử y ( f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x((a,b).
Cho x một số gia (x sao cho (x + (x) ( (a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:

• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y ( x ( dy = dx = x’.(x = (x ( dx = (x.
Vậy ta có:
(

• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do
nên f(x) khả vi tại điểm x ( f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:


2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
và f, g khả vi thì

3. Quan hệ giữa đạo hàm ( nguyên hàm và vi phân:

4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì
;
4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì:


4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:


4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:


4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:

, (k ( 0
4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu
thì

5. Nhận xét: Nếu
với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân bất định
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất định sau tồn tại
nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạch ( bất kì của đoạn [a, b], tức là chia đoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia:
. Trên mỗi đoạn
lấy bất kì điểm
và gọi
là độ dài của
. Khi đó:

gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch (, số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm (k.
Nếu tồn tại
(là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là:

Khi đó hàm số y ( f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]
2. Điều kiện khả tích:
Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
3. Ý nghĩa hình học:
Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường: y ( f(x), x ( a, x ( b, y ( 0

4. Các định lý, tính